Metoda Gaussa: przykłady rozwiązań i przypadków specjalnych

Metoda Gaussa, zwana również metodą krok po krokuwykluczenie nieznanych zmiennych, nosi imię wybitnego niemieckiego naukowca K.F. Gauss, który w swoim życiu otrzymał nieoficjalny tytuł "Króla matematyki". Jednak metoda ta była znana na długo przed narodzinami europejskiej cywilizacji już w pierwszym wieku. BC. e. starożytni chińscy naukowcy używali go w swoich pismach.

Metoda Gaussa jest klasyczną metodą rozwiązywania układów równań algebraicznych (SLAE). Jest idealny do szybkiego rozwiązywania ograniczonych macierzy.

Sama metoda składa się z dwóch ruchów: bezpośredni i wsteczny. Prosty przebieg to sekwencyjny rzut SLAU do postaci trójkątnej, to jest wartości zerowania znajdujące się pod główną przekątną. Odwrotny ruch implikuje sekwencyjne znajdowanie wartości zmiennych, wyrażanie każdej zmiennej przez poprzednią.

Aby nauczyć się, jak zastosować metodę Gaussa w praktyce jest proste, wystarczy znać podstawowe zasady mnożenia, dodawania i odejmowania liczb.

Aby zademonstrować algorytm rozwiązywania układów liniowych za pomocą tej metody, rozważmy jeden przykład.

Rozwiąż więc metodę Gaussa:

x + 2y + 4z = 3
2x + 6y + 11z = 6
4x-2y-2z = -6

Musimy pozbyć się zmiennej x w drugiej i trzeciej linii. Aby to zrobić, dodajemy pierwszy, pomnożony przez odpowiednio -2 i -4. Otrzymujemy:

x + 2y + 4z = 3
2y + 3z = 0
-10y-18z = -18

Teraz pomnóż drugą linię przez 5 i dodaj ją do trzeciej:

x + 2y + 4z = 3
2y + 3z = 0
-3z = -18

Przynieśliśmy nasz system do trójkątnego widoku. Teraz cofamy się. Zaczynamy od ostatniej linii:
-3z = -18,
z = 6.

Druga linia:
2y + 3z = 0
2y + 18 = 0
2y = -18,
y = -9

Pierwsza linia:
x + 2y + 4z = 3
x-18 + 24 = 3
x = 18-24 + 3
х = -3

Zastępując otrzymane wartości zmiennych w danych początkowych, jesteśmy przekonani o poprawności rozwiązania.

Ten przykład może zostać rozwiązany przez wiele innych podstawień, ale odpowiedź powinna być taka sama.

Zdarza się, że na pierwszej liniisą elementy o zbyt małych wartościach. To nie jest przerażające, ale jest dość skomplikowane. Rozwiązaniem tego problemu jest metoda Gaussa z wyborem głównego elementu przez kolumnę. Jego istotą jest następująca: pierwsza linia maksimum poszukiwane elementy modulo, kolumnę, w której się znajduje, zamieniają się miejscami z 1 kolumna, to jest nasz największy element staje się pierwszym elementem głównej przekątnej. Następnie przychodzi standardowy proces obliczeniowy. Jeśli to konieczne, procedurę zamiany kolumn można powtórzyć.

Inną zmodyfikowaną metodą Gaussa jest metoda Jordana-Gaussa.

Służy do rozwiązywania kwadratowego SLAU, kiedy znajduje odwrotną macierz i stopień macierzy (liczba niezerowych rzędów).

Istotą tej metody jest to, że oryginalny system przekształca się w macierz jednostek za pomocą transformacji z dalszym poszukiwaniem wartości zmiennych.

Jego algorytm jest następujący:

1. Układ równań jest zredukowany, podobnie jak w metodzie Gaussa, do postaci trójkątnej.

2. Każda linia jest podzielona przez pewną liczbę, tak aby uzyskać jednostkę na głównej przekątnej.

3. Ostatnia linia jest mnożona przez pewną liczbę i odejmowana od przedostatniego z takim obliczeniem, że otrzymujemy 0 na głównej przekątnej.

4. Operację 3 powtarza się kolejno dla wszystkich rzędów aż do utworzenia macierzy jednostkowej.

</ p>