Ciągła funkcja

Funkcja ciągła jest funkcjąbez „skoków”, czyli taki, którego następujący warunek: niewielkie zmiany w argumencie obserwowani przez małe zmiany w odpowiednich wartości funkcji. Wykres takiej funkcji jest krzywą gładką lub ciągłą.

Ciągłość w punkcie, limit dla niektórychzestawy można zdefiniować za pomocą pojęcia limitu, a mianowicie: funkcja musi mieć w tym miejscu limit, który jest równy jej wartości w punkcie granicznym.

Jeśli te warunki zostaną naruszone w pewnym momencie,powiedzieć, że funkcja w danym punkcie cierpi na nieciągłość, to jest jej ciągłość jest naruszona. W języku ograniczeń punkt nieciągłości można opisać jako niedopasowanie wartości funkcji w punkcie nieciągłym z ograniczeniem funkcji (jeśli istnieje).

Dzięki temu można wyeliminować punkt nieciągłościKonieczne jest posiadanie limitu funkcji, ale nie pokrywa się ona z jej wartością w danym punkcie. W tym przypadku można go "skorygować" w tym momencie, to znaczy można go rozciągnąć na ciągłość.
Zupełnie inny obraz powstaje, jeśli granica funkcji w danym punkcie nie istnieje. Istnieją dwa możliwe warianty punktów przerwania:

• pierwszego rodzaju - obie jednostronne granice istnieją i są skończone, a wartość jednego z nich lub obu nie pokrywa się z wartością funkcji w danym punkcie;
• drugiego rodzaju, gdy jedna lub obie jednostronne granice nie istnieją lub ich wartości są nieskończone.

Właściwości funkcji ciągłych

• Funkcja uzyskiwana w wyniku operacji arytmetycznych, jak również superpozycji funkcji ciągłych w ich domenie definicji, jest również ciągła.
• Jeśli funkcja ciągła zostanie podana pozytywnie w pewnym momencie, zawsze można znaleźć wystarczająco małe sąsiedztwo, na którym zachowuje swój znak.
• Podobnie, jeśli jego wartości w dwóch punktach A i Bsą odpowiednio a i b, a a różni się od b, a dla punktów pośrednich przyjmuje wszystkie wartości z przedziału (a; b). Stąd możemy wyciągnąć ciekawy wniosek: jeśli damy rozciągniętą gumkę, aby się skurczyła, aby nie opadła (pozostała prosta), to jeden z jej punktów pozostanie stały. Geometrycznie oznacza to, że istnieje prosta linia przechodząca przez dowolny punkt pośredni między A i B, który przecina wykres funkcji.

Zauważamy niektóre z ciągłych (w domenie ich definicji) elementarnych funkcji:

• stały;
• racjonalne;
• trygonometryczny.

Między dwiema fundamentalnymi koncepcjami wmatematyka - ciągłość i różniczkowalność - istnieje nierozerwalny związek. Wystarczy przypomnieć, że dla zróżnicowania funkcji konieczne jest, aby była to funkcja ciągła.

Jeśli funkcja jest w pewnym momencie różna, to jest ciągła. Jednak nie jest konieczne, aby jego pochodna była ciągła.

Funkcja, która działa na niektórych ustawieniachciągła pochodna, należy do oddzielnej klasy płynnych funkcji. Innymi słowy, jest to ciągle różniczkowalna funkcja. Jeżeli pochodna ma ograniczoną liczbę punktów przełamania (tylko pierwszego rodzaju), wówczas podobną funkcję nazywa się gładko.

Kolejna ważna koncepcja analizy matematycznejjest jednolitą ciągłością funkcji, to jest jej zdolnością do ciągłego występowania w dowolnym punkcie jej domeny definicji. Tak więc właściwość ta jest rozważana na zbiorze punktów, a nie w żadnej z osobna.

Jeśli to naprawisz, nie dostaniesz tegoInne, jako definicja ciągłości, czyli istnienie jednolitej ciągłości implikuje, że mamy przed sobą ciągłą funkcję. Ogólnie rzecz biorąc, odwrotność nie jest prawdą. Jednak zgodnie z twierdzeniem Cantora, jeśli funkcja jest ciągła na compactum, to znaczy w zamkniętym przedziale, to jest jednolicie ciągła na nim.