Macierz matematyczna. Mnożenie macierzy

Wciąż używali matematycy starożytnych Chinich obliczenia zapisują się w postaci tabel z pewną liczbą wierszy i kolumn. Następnie podobne obiekty matematyczne nazwano "magicznymi kwadratami". Chociaż znane są przypadki używania tabel w postaci trójkątów, które nie były szeroko stosowane.

Do tej pory pod macierzą matematycznąobokt rozumie prostokątny kształt z góry określonej liczby kolumn i charakter, które określają wymiary matrycy. W matematyce formą zapisu jest szeroko stosowana do zapisu w postaci zwartej instalacji różnicowe, jak również liniowych równań algebraicznych. Przyjmuje się, że liczba wierszy w macierzy równa liczbie obecnych w układzie równań, liczba kolumn odpowiada ile wiadomo musi być zdefiniowana w trakcie rozwiązania.

Ponadto, że sama matryca w trakcie jejrozwiązanie prowadzi do znalezienia niewiadomych osadzonych w stanie układu równań, istnieje szereg operacji algebraicznych, które można wykonać na tym obiekcie matematycznym. Ta lista obejmuje dodanie macierzy o tych samych wymiarach. Mnożenie macierzy o odpowiednich wymiarach (można mnożyć tylko macierz, z jednej strony ma liczbę kolumn równą liczbie rzędów macierzy po drugiej stronie). Możliwe jest również pomnożenie macierzy przez wektor lub element pola lub pierścień podstawowy (w przeciwnym razie skalar).

Biorąc pod uwagę mnożenie macierzy, wynika touważnie monitoruj, czy liczba kolumn pierwszego ściśle odpowiada liczbie rzędów drugiego. W przeciwnym razie to działanie nad macierzami nie zostanie określone. Zgodnie z regułą, w której macierz jest pomnożona przez macierz, każdy element w nowej macierzy jest zrównany z sumą produktów odpowiednich elementów od rzędów pierwszej macierzy do elementów pobranych z kolumn drugiej.

Dla jasności rozważ przykład, w jaki sposób następuje mnożenie macierzy. Bierzemy matrycę A

2 3 -2

3 4 0

-1 2 -2,

pomnóż go przez macierz B

3 -2

1 0

4 -3.

Element pierwszej linii pierwszej kolumnyWynikowa macierz to 2 * 3 + 3 * 1 + (-2) * 4. W związku z powyższym, w pierwszym rzędzie, w drugim elemencie kolumny będzie wynosić 2 * (- 2) + 3 * 0 + (- 2) * (- 3), i tak dalej aż do wypełniania każdego elementu nowej matrycy. Reguła dla mnożenia macierzy zakłada, że ​​wynikiem iloczynu macierzy o parametrach m x n na macierzy mającej relację n x k jest tabela o wymiarach m x k. Zgodnie z tą regułą możemy wywnioskować, że iloczyn tak zwanych kwadratowych macierzy, o tej samej kolejności, jest zawsze zdefiniowany.

Z właściwości, które posiada multiplikacja macierzy,Należy zauważyć, że jedna z głównych rzeczy, że operacja ta nie jest przemienna. To jest iloczyn macierzy M do N jest równe iloczynowi N przez M. Jeśli w kwadratowych macierzy tego samego rzędu obserwuje się, że ich do przodu i wstecznego produkt określa się zawsze, różniące się tylko w wyniku tego prostokątny matrycy jak pewnych warunkach nie zawsze są spełnione.

Mnożenie macierzy ma wiele właściwości,które mają wyraźne dowody matematyczne. Asocjatywność mnożenia implikuje poprawność następującego wyrażenia matematycznego: (MN) K = M (NK), gdzie M, N i K są macierzami posiadającymi parametry, dla których definiowane jest mnożenie. Rozdzielczość mnożenia zakłada, że ​​M (N + K) = MN + MK, (M + N) K = MK + NK, L (MN) = (LM) N + M (LN), gdzie L jest liczbą.

Konsekwencja właściwości mnożenia macierzy, zwana "asocjatywnością", oznacza, że ​​praca zawierająca trzy lub więcej czynników może być zapisywana bez użycia nawiasów.

Użycie właściwości distributivity umożliwia otwarcie nawiasów podczas sprawdzania wyrażeń macierzowych. Zwracamy uwagę, jeśli otworzymy nawiasy, musimy zachować kolejność czynników.

Wykorzystanie wyrażeń macierzowych pozwala nie tylko na zwięzłe rejestrowanie kłopotliwych układów równań, ale także ułatwia proces ich przetwarzania i rozwiązywania.

</ p>