Podstawowe zasady różnicowania stosowane w matematyce

Zacznijmy od tego, że warto pamiętać, czym jest dyferencjał i jakie znaczenie matematyczne niesie.

Różnica funkcji jest pochodną funkcji argumentu przez różnicę samego argumentu. Matematycznie, pojęcie to można zapisać jako wyrażenie: dy = y "* dx.

Z kolei z definicji pochodnejfunkcja y "= lim dx-0 (dy / dx) zawiera, a przez definicję limitu wyrażenie dy / dx = x" + α, gdzie parametr α jest nieskończenie małą liczbą matematyczną.

W związku z tym obie części wyrażenia należy pomnożyćna dx, który ostatecznie daje D = Y „* dx + α * dx, gdzie dx - jest nieskończenie zmiany argument (α * dx) - wartość, która może być pominięty, wtedy dy - funkcja przyrost, jak i (Y * dx ) jest główną częścią przyrostu lub różnicy.

Różnica funkcji jest iloczynem pochodnej funkcji przez różnicę argumentu.

Teraz powinniśmy rozważyć podstawowe zasady różnicowania, które są często używane w analizie matematycznej.

TEOREM. Pochodna sumy jest równa sumie pochodnych uzyskanych z warunków: (a + c) "= a" + c ".

Podobnie, ta zasada będzie również działać, aby znaleźć pochodną różnicy.
Konsekwencją tej reguły różnicowania jest twierdzenie, że pochodna określonej liczby składników jest równa sumie pochodnych uzyskanych z tych składników.

Na przykład, jeśli chcesz znaleźć pochodną wyrażenia (a + c-k) ", to wynikiem jest wyrażenie" + c "-k".

TEOREM. Pochodna iloczynu funkcji matematycznych,różniczkowalny w punkcie, jest równy sumie składającej się z iloczynu pierwszego czynnika przez pochodną drugiego i iloczynu drugiego czynnika przez pochodną pierwszego.

Matematycznie, twierdzenie zostanie napisane w następujący sposób(a * c) "= a * c" + a "* c. Następstwem twierdzenia jest wniosek, że stały czynnik w produkcie pochodnym może być traktowany jako pochodna funkcji.

W formie wyrażeń algebraicznych reguła ta będzie zapisana następująco: (a * c) "= a * c", gdzie a = const.

Na przykład, jeśli chcesz znaleźć pochodną (2A3) "wtedy wynik będzie odpowiedź: 2 * (A3)" = 2 * 3 * 6 * 2 = a2.

TEOREM. Pochodną stosunku funkcji jest stosunek różnicy pochodnej licznika pomnożonej przez mianownik i licznik pomnożony przez pochodną mianownika i kwadrat mianownika.

Matematycznie, twierdzenie będzie napisane w następujący sposób: (a / c) "= (a" * c-a * c ") / c².

Podsumowując, konieczne jest rozważenie zasad różnicowania złożonych funkcji.

TEOREM. Załóżmy, że mamy funkcję y = φ (χ), gdzie χ = c (m), wówczas funkcja y względem zmiennej τ nazywana jest złożoną.

Tak więc w analizie matematycznejpochodna funkcji zespolonej jest traktowana jako pochodna samej funkcji pomnożona przez pochodną jej podfunkcji. Dla wygody zasady różnicowania złożonych funkcji są przedstawione w postaci tabeli.

Przy regularnym korzystaniu z tej tabelipochodne są łatwo zapamiętywane. Reszta pochodnych złożonych funkcji można znaleźć, jeśli zastosujemy zasady zróżnicowania funkcji, które zostały określonych w twierdzeniach i twierdzeń pochodnych do nich.