Jak znaleźć minimalne i maksymalne punkty funkcji: cechy, metody i przykłady

Funkcjonuje i bada jej funkcjejeden z kluczowych rozdziałów współczesnej matematyki. Głównym składnikiem każdej funkcji są wykresy reprezentujące nie tylko jej właściwości, ale także parametry pochodnej tej funkcji. Spójrzmy na ten trudny temat. Jak najlepiej znaleźć maksymalne i minimalne punkty funkcji?

Funkcja: Definicja

Każda zmienna, która w jakiś sposób zależy od wartości innej wielkości, może być nazwana funkcją. Na przykład funkcja f (x²) jest kwadratowe i określa wartości dla całego zbioru x. Załóżmy, że x = 9, wtedy wartość naszej funkcji wyniesie 9²= 81.

Funkcje mogą być wszelkiego rodzaju: logiczne, wektorowe, logarytmiczne, trygonometryczne, numeryczne i inne. Studiowali tak wybitne umysły, jak Lacroix, Lagrange, Leibniz i Bernoulli. Ich prace służą jako warownia w nowoczesnych sposobach studiowania funkcji. Przed znalezieniem punktów minimalnych bardzo ważne jest zrozumienie samego znaczenia funkcji i jej pochodnej.

Pochodne i jego rola

Wszystkie funkcje są zależne od ichzmienne, co oznacza, że ​​mogą zmienić swoją wartość w dowolnym momencie. Na wykresie zostanie ono przedstawione w postaci krzywej, która następnie opada, a następnie wznosi się wzdłuż osi pionowej (tego zbioru liczb wszystkich „Y” na pionowej wykresu). Tak więc definicja punktu maksimum i minimum funkcji jest właśnie związana z tymi "fluktuacjami". Wyjaśnimy, czym jest ten związek.

Pochodną dowolnej funkcji wykreślono na wykresiew celu zbadania jego głównych cech i obliczenia, jak szybko funkcja zmienia się (to znaczy zmienia jej wartość w zależności od zmiennej "x"). W czasie, gdy funkcja się zwiększa, wykres jej pochodnej również wzrośnie, ale w każdej sekundzie funkcja może zacząć się zmniejszać, a następnie wykres pochodnej będzie się zmniejszał. Punkty, w których pochodna przechodzi od znaku minus do znaku plus, są nazywane punktami minimalnymi. Aby dowiedzieć się, jak znaleźć minimalne punkty, lepiej zrozumieć pojęcie pochodnej.

Jak obliczyć pochodną?

Definicja i obliczanie pochodnej funkcjiimplikuje kilka pojęć z rachunku różniczkowego. Zasadniczo samą definicję pochodnej można wyrazić w następujący sposób: jest to wartość określająca szybkość zmiany funkcji.

Matematyczny sposób definiowania go dla wielu osóbstudenci wydają się skomplikowani, ale w rzeczywistości wszystko jest znacznie prostsze. Konieczne jest jedynie przestrzeganie standardowego planu znajdowania pochodnej dowolnej funkcji. Poniżej opisujemy, w jaki sposób można znaleźć minimalny punkt funkcji, bez stosowania zasad różnicowania i bez poznania tabeli pochodnej.

1. Pochodną funkcji można obliczyć za pomocągrafika. Aby to zrobić, musisz reprezentować samą funkcję, a następnie wziąć na nią pojedynczy punkt (punkt A na rysunku). Pionowo w dół narysować linię na osi odciętych (punkt x₀), a w punkcie A narysuj styczną do wykresufunkcja. Oś odcięta i oś styczna tworzą kąt a. Aby obliczyć wartość szybkości wzrostu funkcji, należy obliczyć styczną tego kąta a.
2. Okazuje się, że styczna kąta między styczną iKierunek osi x jest pochodną funkcji na małej sekcji z punktem A. Metodę tę uważa się za geometryczny sposób wyznaczania pochodnej.

Metody badania funkcji

W szkolnym programie matematyki jest to możliweznalezienie minimalnego punktu funkcji na dwa sposoby. Pierwsza metoda przy pomocy już zdemontowanego wykresu, ale jak określić wartość liczbową pochodnej? Aby to zrobić, musisz nauczyć się kilku formuł, które opisują właściwości pochodnej i pomagają przekonwertować zmienne typu "x" na liczby. Poniższa metoda jest uniwersalna, dlatego można ją zastosować do prawie wszystkich rodzajów funkcji (zarówno geometrycznych, jak i logarytmicznych).

1. Konieczne jest zrównanie funkcji z funkcją pochodną, ​​a następnie uproszczenie wyrażenia za pomocą reguł różnicowania.
2. W niektórych przypadkach, gdy funkcja jest podana, wgdzie zmienna "x" znajduje się w dzielniku, konieczne jest określenie zakresu dopuszczalnych wartości, z wyłączeniem punktu "0" (z tego prostego powodu, że w matematyce w żadnym przypadku nie można podzielić na zero).
3. Następnie należy przekształcić oryginalną postać funkcji w proste równanie, przyrównując całe wyrażenie do zera. Na przykład, jeśli funkcja wygląda następująco: f (x) = 2x³+ 38x, a następnie według zasad różniczkowania jego pochodna jest równa f "(x) = 3x²+1. Następnie przekształcamy to wyrażenie w równanie o następującej postaci: 3x²+1 = 0.
4. Po rozwiązaniu równania i znalezieniu punktów "x",należy je przedstawić na osi odciętych i określić, czy pochodna w tych sekcjach pomiędzy zaznaczonymi punktami jest dodatnia czy ujemna. Po zapisie staje się jasne, w którym momencie funkcja zaczyna się zmniejszać, to znaczy zmienia znak z negatywnego na negatywny. W ten sposób można znaleźć zarówno punkty minimalne, jak i maksymalne.

Reguły różnicowania

Najbardziej podstawowy element w badaniu funkcji ujego pochodną jest znajomość zasad różnicowania. Tylko z ich pomocą możesz konwertować niewygodne wyrażenia i duże, złożone funkcje. Rzućmy okiem na nich, jest ich wiele, ale wszystkie z nich są bardzo proste dzięki naturalnym właściwościom zarówno władzy i funkcji logarytmicznej.

1. Pochodna dowolnej stałej jest równa zeru (f (x) = 0). To znaczy pochodna f (x) = x⁵+ x - 160 przyjmie postać: f "(x) = 5x⁴+1.
2. Pochodna sumy dwóch terminów: (f + w) "= f" w + fw ".
3. Pochodna funkcji logarytmicznej: (log_ad) "= d / ln a * d Ta formuła ma zastosowanie do wszystkich typów logarytmów.
4. Pochodna stopnia: (xⁿ) "= n * x^n-1. Na przykład (9x²) "= 9 * 2x = 18x.
5. Pochodna funkcji sinusoidalnej: (sin a) "= cos a. Jeśli sin kąta a wynosi 0,5, to jego pochodna jest równa √3 / 2.

Ekstremalne punkty

Ustaliliśmy już, jak znaleźć minimalne punkty,Istnieje jednak pojęcie maksymalnych punktów funkcji. Jeśli minimalna przedstawia punkty, w których funkcja Wpływy ze znakiem ujemnym do plus maksymalne punkty punkty na osi x, w którym wraz z pochodnymi zmiany funkcji po przeciwnej - minus.

Maksymalne punkty można znaleźć zgodnie z opisaną powyżej metodą, ale należy zauważyć, że oznaczają one te części, w których funkcja zaczyna zmniejszać się, to znaczy pochodna będzie mniejsza od zera.

W matematyce powszechne jest uogólnianie obu pojęć,zastępując je zwrotem "punkty ekstremalne". Gdy zadanie jest wymagane do określenia tych punktów, oznacza to, że konieczne jest obliczenie pochodnej danej funkcji i znalezienie punktów minimalnych i maksymalnych.