Jak znaleźć odległość w płaszczyźnie współrzędnych

W matematyce stawia się zarówno algebrę, jak i geometrięproblem znalezienia odległości do punktu lub linii prostej od danego obiektu. Jest zupełnie inaczej, wybór zależy od danych początkowych. Zastanów się, jak znaleźć odległość między danymi obiektami w różnych warunkach.

Na początkowym etapie opanowania nauk matematycznychnauczyć się używać podstawowych narzędzi (takich jak linijka, kątomierz, kompas, trójkąt i inne). Znalezienie odległości między punktami lub liniami przy ich pomocy nie jest trudne. Wystarczy przyłączyć skalę podziałów i zapisać odpowiedź. Trzeba tylko wiedzieć, że odległość będzie równa długości linii prostej, którą można narysować między punktami, a w przypadku linii równoległych - prostopadłej między nimi.

Zastosowanie twierdzeń i aksjomatów geometrii

W wyższych klasach ucz się mierzyć odległość bezpomoc specjalne narzędzia lub papieru. Do tego potrzebujemy licznych twierdzeń, aksjomatów i ich dowodów. Często problemy z odnalezieniem odległości są zredukowane do tworzenia trójkąta prostokątnego i poszukiwania jego boków. Do rozwiązania takich problemów wystarczy znać twierdzenie Pitagorasa, właściwości trójkątów i sposoby ich transformacji.

Jeśli istnieją dwa punkty i ich położenie jest ustawione na osi współrzędnych, jak znaleźć odległość od jednej do drugiej? Rozwiązanie będzie obejmować kilka etapów:

1. Łączymy punkty linii prostej, których długość będzie odległością między nimi.
2. Znajdujemy różnicę w wartościach współrzędnych punktów (k; p) każdej osi: | k₁ - do₂| = q₁ i | p₁ - p₂| = q₂ (bierzemy wartości modulo, ponieważ odległość nie może być ujemna).
3. Następnie konstruujemy wynikowe liczby w kwadracie i znajdujemy ich sumę: q₁² + d₂²
4. Ostatnim krokiem jest wyodrębnienie pierwiastka kwadratowego z uzyskanej liczby. Jest to odległość między punktami: q = V (q₁² + d₂²).

W rezultacie całe rozwiązanie jest realizowane według jednej formuły, gdzie odległość jest równa pierwiastkowi kwadratowemu z sumy kwadratów różnicy współrzędnych:

q = V (| k₁ - do₂|²+ | p₁ - p₂|²)

Jeśli pojawi się pytanie, jak znaleźć odległośćz jednego punktu do drugiego w przestrzeni trójwymiarowej, poszukiwanie odpowiedzi na nią nie będzie się bardzo różnić od podanej powyżej. Rozwiązanie zostanie przeprowadzone zgodnie z następującym wzorem:

q = V (| k₁ - do₂|²+ | p₁ - p₂|²+ | e₁ - e₂|²)

Prostopadę zaczerpniętą z dowolnego punktu,leżąc na jednej linii, równolegle i jest odległością. Podczas rozwiązywania problemów na płaszczyźnie konieczne jest znalezienie współrzędnych dowolnego punktu jednej z linii. A następnie obliczyć odległość od niego do drugiej linii prostej. W tym celu redukujemy je do ogólnego równania prostej w postaci Ax + Bx + C = 0. Z właściwości linii równoległych wiadomo, że ich współczynniki A i B będą równe. W tym przypadku odległość między równoległymi liniami można znaleźć na podstawie wzoru:

q = | C₁ - C₂| / V (A² + B²)

Tak więc, odpowiadając na pytanie, w jaki sposóbznajdź odległość od danego obiektu, należy kierować się stanem zadania i narzędziami do jego rozwiązania. Mogą to być zarówno urządzenia pomiarowe, jak i twierdzenia i formuły.